Permütasyon ve Olasılık

KONU:PERMÜTASYON VE OLASILIK






PERMÜTASYON AMAÇ:Permütasyonla ilgili temel kavramları kullanabilme becerisi


Olasılık Amaç:Olasılık ve olasılıkla ilgili temel kavramlar bilgisi


Planlama:Permütasyon ve olasılık kavramı


1)Permütasyon


A)Genel çarpma özelliği


B) Permütasyon


1) ”n” elemanlı bir kümenin n’li permütasyonu


2) “n”elemanlı bir kümenin r’li permütasyonu


3)Dairesel permütasyon


2)Olasılık:


A)Olay ve olasılık tanımı


B)Ayrık iki olayın olasılığı (A veya B’nin olasılığı)


C)Aynı zamanda geçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı(A ve B’nin olasılığı)


İşleniş


Permütasyon ( Büyük )


a) Saymanın Temel İlkesi ( Genel Çarpma Özelliği )


ÖR: Ahmet’in iki değişik pantolonu üç değişik renk gömleği vardır.Ahmet gömlek ile pantolonunu kaç değişik biçimde giyebilir.


ÇÖZÜM: Ahmet’in değişik renk gömlekleri G1,G2,G3 ve pantolonları da P1,P2 olsun.


Ahmet bu giysileri aşağıda gösterilen biçimlerde giyebilir.


1. Giyinme => G1 P1


2. Giyinme => G1 P2


3. Giyinme => G2 P1


4. Giyinme => G2 P2


5. Giyinme => G3 P1


6. Giyinme => G3 P2 biçiminde giyebilir.


Ahmet’in giyinişi 6 değişik biçimde olmaktadır. Bunu kısaca,




Gömlek Pantolon


3 tane 2 tane


3 x 2 = 6 şeklinde buluruz.




Ardışık iki işlemden biri, a değişik yoldan yapılabiliyor. Bu yollardan herhangi biri kullanıldıktan sonra, ikinci bir işlem b değişik yoldan yapılabiliyorsa, ardışık iki işlem a x b değişik yoldan yapılabilir.


Bu özelliğe “Saymanın Temel İlkesi “ yada “ Genel Çarpma Özelliği” denir.




ÖR: A= ( 1,2,3,4,5 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir.




Y O B








4 X 3 X 2 = 24 değişik çift sayı yazılabilir.






ÖR: A= ( 0,2,3,4,5 } kümesinin elemanlarını kullanarak 5 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı tek sayı vardır.






Y O B










4 X 5 X 1 = 20 tane sayı yazılabilir.




FAKTÖRİYEL






n C N olmak üzere,


1.2.3. _ _ _ _ _ .n


çarpımına n faktöriyel denir ve




n! = n .(n-1).(n-2)._ _ _ _ _ .3.2.1 biçiminde ifade edilir.




0! = 1


1! = 1


n! = n.(n-1)! Olarak tanımlanır.






ÖR:




4! = 4.3.2.1 = 24


5! = 5.4.3.2.1 = 120


15! 15.14.13!


13! 13! = 15.14 = 210




4) 8!+9! 8.7!+9.8.7! 7! (8+9.8)


7! 7! 7!




8+72 = 80




4!. ( n – 1 )!


n! = 6 => n = ?




4! . ( n-1 )!


n! = 6 =>




( 4.3.2.1 ) . ( n-1)! = 6 . n!




24. ( n-1)! = 6.n. ( n-1 )!




n 24. ( n-1 )! n = 4


6 . ( n-1 )!




PERMÜTASYON






Bir kümenin elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir.






ÖR:






A = ( 1,2,3 } kümesinin permütasyonlarını yazalım.


( 1,2,3 ) ( 2,3,1 )


( 1,3,2 ) ( 3,1,2 )


( 2,1,3 ) ( 3,2,1 )




n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı P(n,n) şeklinde gösterilir.P(n,n) ifadesi, n’den 1’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımıdır.




Yani; P( n,n ) = n! ‘dir.






ÖR: “Ahmet” kelimesinin harfleri ile, 5 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir.




P ( 5,5 ) = 5!


= 5.4.3.2.1


= 120 bulunur.






“n” Elemanlı Bir kümenin “r” li Permütasyonları




“n” ve “r” birer sayma sayısı ( n > r ) olmak üzere , n elemanlı bir kümenin elemanlarının r’li sıralanışına, “ n elemanlı kümenin r’li permütasyonu “ denir.ve


P ( n,r ) şeklinde gösterilir.


P ( n,r ) permütasyonlarının sayısı,






P ( n,r ) = n! İfadesi ile bulunur.


( n-r )!




Başka bir ifadeyle P ( n,r ) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n’den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır.






ÖR:




1) P ( 5,2 ) 5! 5.4.3! = 20


( 5-2 )! 3!








2) P ( 7,3 ) 7! 7.6.5.4! = 210


( 7-3 )! 4!






3) P ( 6,1 ) 6! 6.5! = 6


( 6-1 )! 5!






ÖR:




P ( 5,3 ) = 5.4.3 = 60


P ( 6,2 ) = 6.5.4.3.2 = 720


P ( 7,4 ) = 7.6.5.4 = 840






ÖR: 5. P( n,3 ) = 2. P( n+1,3 ) eşitliğinde n’nin değeri kaçtır?




ÇÖZÜM:






5.n ( n-1 ). ( n-2 ) = 2.( n+1 ) n . ( n-1 )




5.( n-2 ) = 2 ( n+1 )




5 n-10 = 2 n+2




5 n –2n = 2+10




3 n = 12




n = 4




Dönel (Dairesel ) Sıralama




“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin noktaları üzerinde birbirine göre farklı dizilişlerinden her birine,”dairesel permütasyon “ denir.


“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir daire üzerinde değişik biçimde dairesel permü-


tasyonlarının sayısı,




( n-1 )! Tanedir.




ÖR: 7 kişi, yuvarlak bir masanın etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?




ÇÖZÜM:


Bir kişinin yeri sabit tutulursa;




Oturuş sayısı = ( 7-1 )!


= 6!


6.5.4.3.2.1 = 720 bulunur.




ÖR:




Bir okulda, 3 yönetici ile 5 öğretmen vardır. Yöneticiler yan yana olmak üzere, 8 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır. Oturuş biçimi kaç farklı biçimde olabilir?




ÇÖZÜM:




Yöneticiler bir arada olacağı için, üç yöneticiyi bir kişi gibi kabul edelim.


Bu duruma göre, yuvarlak masanın etrafına 1+5 = 6 kişi oturuyormuş gibi düşünebiliriz. Ancak,3 yönetici de kendi aralarında 3! Kadar farklı biçimde otururlar.




Buna göre, farklı oturuş biçimi,




3!.( 6-1 )! = 6 .120 =720 değişik biçimde olur.






OLASILIK






Olasılık, rastlantı yada kesin olmayan olaylarla uğraşır. Rastlantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olaylardır.


Örneğin; bir parayı havaya attığımızda, yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz.




. Bir deneyde çıkan sonuçların her birine “ olay “denir. Yapılan bir deneyde, elde edile-


bilecek tüm çıkanların kümesine “örnek uzay”veya “ evrensel küme “ adı verilir. Büyük “E”harfi ile gösterilir.




. Bir olay her zaman olabiliyorsa buna “kesin olay”; hiç gerçekleşmiyorsa buna da “imkansız olay” denir.




. Bir E örnek uzayının her elemanının elde edilme olasılığı eşit ise bu E örnek uzayına “eş olumlu örnek uzay “ denir.




Eş olumlu örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P( A ) biçimde gösterilir.




A C E olayı için,




P( A ) = s( A)


s( E ) dir.




ÖR:




Bir zar atıldığında,üste gelen yüzünün asal sayı olma olasılığı nedir?


ÇÖZÜM:


Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6 }


Olay A = ( 2,3,5 } dir.




A olayının olasılığı : P( A ) s( A ) 3 1


s( E ) 6 2


ÖZELLİKLER






Bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında bir sayıdır.




0 < P( A ) < 1


P( A ) = 0 => böyle bir olaydan söz edilemez.(İmkansız olay )


P( A ) = 1 => olasılık tamdır.( Kesin olay )


Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir.


P( A ) + P( A‘) = 1 dir.






ÖR:


Bir torbada,aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır. Torbadan rasgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı nedir?




ÇÖZÜM:




Örnek uzayın eleman sayısı,




s( E ) = 3+4+5 = 12 dir.




Beyaz bilye çekme olayı B olsun . Torbada 4 tane beyaz bilye olduğundan,


s( B ) = 4 tür. Buna göre;


P( B ) s( B ) 4 1


s( E ) 12 3 tür.






ÖR:




Bir çift zar, aynı anda masanın üzerine atılıyor. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir?




ÇÖZÜM:




Evrensel kümenin eleman sayısı,




s( E ) = 6 x 6 = 36 dır.




Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma durumları;


A = ( (1,1),( 1,2 ),( 2,1 ),( 1,4 ),( 4,1 ),( 1,6 ),( 6,1 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 2,5 ),( 5,2 ),( 3,4 ),( 4,3 ), ( 5,6 ),( 6,5 )}






P( A ) s( A) 15 5


s(E) 36 12 dir.










AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞMELERİNİN ( A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI






Ayrık olayların birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşittir.


A n B = O =>


P ( A U B ) = P ( A ) + P( B ) dir.








ÖR:




Bir torbaya aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 sarı,4 mavi bilye konuluyor. Torbadan rasgele bir bilye çekilirse,çıkan bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir?




ÇÖZÜM: Evrensel küme,




E = ( k1,k2,s1,s2,s3,m1,m2,m3,m4 }ve s( E ) = 9 dur.


Kırmızı bilyeler = A = ( k1,k2 }


Mavi bilyeler = B = ( m1,m2,m3,m4 }


A n B = O dir. Buna göre,


P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) yazılır.


P ( A U B ) = 2 4 6 2


9 9 9 3 bulunur.








AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMLERİNİN (A VEYA B OLAYININ )


OLASILIĞI








Ayrık olmayan iki olayın birleşimlerinin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının farkına eşittir.




A n B = O => ,




P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A n B ) dir.












ÖR:




Bir torbaya 1’den 9’a kadar numaralanmış aynı büyüklük ve özellikte 9 top konuyor. Torbadan rasgele bir top çekiliyor. 4’ten büyük veya tek numaralı bir topun çıkma olasılığı nedir?








ÇÖZÜM:Evrensel küme


E = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }


s( E ) = 9 dur.




Tek numaralı bilyenin çıkması olayı;


A = ( 1,3,5,7,9 }, s( A ) = 5 ’tir.




4 ten büyük numaralı bilyenin çıkması olayı;




B = ( 5,6,7,8,9 }, s ( B ) = 5’tir.


A n B = (5,7,9 }, s ( A n B ) = 3’tür.






P( A ) = 5 P ( B ) = 5 P( A n B) = 3


9 9 9 dur.




Buna göre,






P( A u B ) = P( A ) + P( B )- P( A n B )


= 5 + 5 - 3


9 9 9


= 7


olur.










BAĞIMSIZ OLAYLARIN BİRLİKTE OLMA ( A VE B OLAYININ ) OLASILIĞI






İki veya daha çok olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı değilse böyle olaylara “ bağımsız olaylar” denir.


Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.






P( A ve B ) = P( A n B ) = P( A ) . P( B ) dir.




ÖR: Bir okulun birinci sınıfında 12 erkek ve 8 kız, ikinci sınıfında 6 erkek ve 12 kız öğrenci vardır. Her iki sınıftan da rasgele seçilen birer öğrencinin ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı nedir?


sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı A =>


P( A) = s( A ) 8 2


s( E ) 20 5 tir.


sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı B =>


P( B ) = s( B) 12 2


s( E ) 18 3 tür.


P( A n B ) = P( A ) . P( B )


= 2 . 2 4


5 3 15 olur.

*