Permütasyon Matrisleri

PERMUTASYON MATRİSLERİ






Gauss eliminasyonu yaparken bazı satır veya sütun takasları yapmamız gerekebilmektedir. Yaptığımız takas işlemlerini matris türünden ifade etmek istersek bunu bize permütasyon matrisleri sağlayacaktır. Satır veya sütun takaslarını göstermek için kullandığımız permütasyonlara takas permütasyonları adını vereceğiz.




Bir n x n permütasyon matrisi, satırları farklı şekilde düzenlenmiş birim matristen ibarettir. Böyle bir matrisin her satırında ve her sütununda sıfırdan farklı bir eleman olacaktır ve bu elemanların da tümü “1” dir. Ancak böyle bir permütasyon matrisini bilgi işlem sistemimizde açık matris ifadesi olarak saklamak yerine, k = 1,...,n , ‘1’ in hangi sütunda bulunduğunu gösteren sütun indisi olmak üzere, p(k) olarak göstermek daha uygun olacaktır. (Aynı şekilde k, ‘1’ in satır indisi olarak ta alınabilir)



Örnek:








P , 3 x 3 ‘lük bir permütasyon matrisidir. Herhangi bir 3 x 3 ‘lük A matrisini soldan P matrisi ile çarpmak A’nın 2 ve 3’üncü satırlarını takas etmek anlamına gelecektir:








A matrisini sağdan P ile çarpmak ta aynı sonucu verecektir.




Permütasyon matrislerinin Gauss Eliminasyonu ile ilgili iki yararlı özelliği mevcuttur:



1. Eğer k1 , ..., kn 1’den n’e kadar olan tamsayıların permütasyonu ve permütasyon matrisi P = ( pij ) ‘de




-------------------






olarak tanımlanmış ise PA, A matrisinin satırlarını permüte eder, yani şöyle bir matris elde ederiz:






-------------------








2. Eğer P bir permütasyon matrisi ise P -1 mevcuttur ve P -1 = P T gerçeklenir.




Gauss eliminasyonu için gerekli olan satır takaslarını önceden bildiğimiz takdirde, başta elimizde bulunan denklemleri satır takası gerekmeyecek sırada yazmamız mümkündür. Yani sistemdeki denklemlerin satır takası olmaksızın Gauss eliminasyonu yapılabilecek bir sıralanışı mevcuttur. Bu da herhangi bir singular olmayan A matrisi için,




----------------------




olacak biçimde bir P permütasyonunun varlığını gerektirir. PA matrisi de,



PA = LU






şeklinde faktorize edilebildiğinden dolayı P -1 = P T özelliğini kullanarak şu sonuca varabiliriz:






A = P –1LU = (P TL )U

*