Fonksiyonlar

A. TANIM


A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.




" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.








Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.




Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.




s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,




A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.


B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.


A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.


Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.




B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM




f ve g birer fonksiyon olsun.




f : A ® IR




g : B ® IR




olmak üzere,




i) f ± g: A Ç B ® IR




(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)




ii) f . g: A Ç B ® IR




(f . g)(x) = f(x) . g(x)












C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ




1. Bire Bir Fonksiyon




Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.




" x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken




x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.




Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,




A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı












2. Örten Fonksiyon




Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.




f : A ® B




f(A) = B ise, f örtendir.




s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı




m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.








3. İçine Fonksiyon




Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.




İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.




s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı


mm – m! dir.








4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon




Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.




f : IR ® IR




f(x) = x




birim (etkisiz) fonksiyondur.




Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.




5. Sabit Fonksiyon




Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.




Ü "x Î A ve c Î B için




f : A ® B




f(x) = c




fonksiyonu sabit fonksiyondur.




s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,




A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.








6. Çift ve Tek Fonksiyon




f : IR ® IR




f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.




f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.




Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.




Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.








D. EŞİT FONKSİYON




f : A ® B




g : A ® B




"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.








E. PERMÜTASYON FONKSİYONU




f : A ® A




olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.




A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A




f = {(a, b), (b, c), (c, a)}




fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup












F. TERS FONKSİYON




f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.








Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.




f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır.








(f – 1) – 1 = f dir.




(f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.




y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.












G. BİLEŞKE FONKSİYON




1. Tanım




f : A ® B




g : B ® C




olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.




(gof)(x) = g[f(x)] tir.








2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri




i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.




fog ¹ gof




Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.




ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.




fo(goh) = (fog)oh = fogoh




iii) foI = Iof = f




olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.




iv) fof – 1 = f – 1of = I




olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.




v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir...

*