Pascal Üçgeni

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.


Kümenin Eleman Sayısı:




s(A)=0............................................ ...............1


s(A)=1............................................ ............1.....1


s(A)=2............................................ .......1.....2.....1


s(A)=3............................................ ..1.....3.....3.....1


s(A)=4..........................................1. ....4.....6.....4.....1


s(A)=5......................................1..... 5.....10....10.....5....1 ...




Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.


Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1


s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1


Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.


A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.


0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane


1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane


2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane


3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane




s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.


Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.


*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın


satırındaki üçüncü sayı)


*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:


3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)


4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)


*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:


1.YOL: (21+35+21+7+1)=120


2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)




Binom Açılımı:


(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.






(a+b)5=?


Katsayılar 1 5 10 10 5 1


A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1


B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6




(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5






*(5x-3y)2=?


Katsayılar 1 2 1


5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1


-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2


(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2




Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir

*