KArmaşık Sayılar

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler

kullanılır.




Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.




Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.








Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.




Tanım




Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.




Kartezyen uzay tanımı




Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı








olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.




Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: olmak üzere;




z = (a,b)




Burada açıkça Re(z) = a ve Im(z) = b dir.




Cisim genişlemesi tanımı




Karmaşık sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:








Bu durumda








olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının x2 + 1 polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:








Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.




Matris (dizey) tanımı




Karmaşık sayıları, gerçel katsayılı 2x2'lik matrislerin bir altkümesi olarak düşünebiliriz. Birim sayıları








olarak tanımlanırsa böylece her bir karmaşık sayı








olarak ifade edilebilir ki burada a,b alınmıştır. Kaldı ki








olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde karmaşık sayılar








şeklinde tanımlanmış olur.




Karmaşık sayılarda işlem




Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.




Eşitlik




Bir karmaşık sayıları için




z = w ancak a = c ve b = d iken geçerlidir.




Toplama




Bir karmaşık sayıları için








Çarpma




Bir karmaşık sayıları için








Eşlenik






Bir dönüşümüdür ve








ya da matrislerde






olarak tanımlanır.




Eşleniğin cebirsel özellikleri sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = − 7 olan kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle



ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.



Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.






Mutlak Değer




Bir karmaşık sayısı için








ya da








olarak tanımlıdır.




Mutlak değerin cebirsel özellikleri iken geçerlidir.
(üçgen eşitsizliği)

Çarpımsal Ters




Bir karmaşık sayısının tersi








olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak








olduğu görülür.




Bölme




Bir karmaşık sayıları için












İki tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir. Bu kümede her sayı








şeklinde ifade edilebilir. Ancak dörtlük sayılarla karıştırılmamalıdır. Çünkü bu kümede








iken








olarak tanımlanır. Zira, bu sayılar dörtlük sayıların değişmelisi olarak anılır.




Bu maddede çifte karmaşık sayı,








olarak gösterilecektir.




Tanım




Çifte karmaşık sayılar birkaç şekilde tanımlanabilir. En yaygın tanımı iki farklı karmaşık sayı kümesinin birleştirimi olduğu için küme çifte karmaşık sıfatını almıştır.




İki karmaşık birim sayı tanımı




İki farklı karmaşık sayı kümesi olduğunu varsayalım: olsun. Bu durumda bu iki birimin çarpımı








olarak tanımlanır ve bu sayıya 'hiperbolik birim sayı adı verilir. Açık olarak görülür ki bu birim sayı,








özelliğini sağlar. O halde bir çifte karmaşık sayı








olarak ifade edilebilir.




Karmaşık katsayılı hiperbolik sayı tanımı




Eğer hiperbolik sayı tanımını








gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı








şeklinde ifade edilecektir. Burada








olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı








şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.



Vikipedi, özgür ansiklopedi

*