doqaL sayıLar

DOĞAL SAYILAR








0, 1, 2, 3, ... , 50, ... devam eden sayılara doğal sayılar denir.


Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.


D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }


İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir.


n bir doğal sayı iken;


Çift doğal sayılar : 2


Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.


Sayma Sayıları


Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.


S = {1, 2, 3, 4, 5, ...}




SAYI DOĞRUSU


Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.




ONLUK SAYMA DÜZENİ




Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.




RAKAM




Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.


Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.


Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.




BASAMAK DEĞERİ


Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir.


Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.




SAYI DEĞERİ


Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir.




ÇÖZÜMLEME


Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, ... varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.




2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +


10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1




GRUPLAMA


Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.






2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya


= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik




SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ




ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU




4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti)


5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti)


3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)




ÜSSÜN ANLAMI


Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.




10 = 10 x 10 = 100


5 = 5 x 5 x 5 = 125


4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256


3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243


2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64




ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ




Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15


Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1


Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1


1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1


Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır.




ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME




Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır.




5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)


=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)




DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA




Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür. Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.




Küçük < Büyük


Büyük > Küçük




< işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür.






DÖRT İŞLEM






DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA




AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir.


A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise


s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6


Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. İşlemin sonucuna da toplam denir.


Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir.




TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ




KAPALILIK ÖZELLİĞİ


İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir.




3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir.


9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir.


aD, bD için (a + b)D dir.




DEĞİŞME ÖZELLİĞİ




Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme özelliği denir.


3 + 5 = 8 = 5 + 3


aD, bD ise; a + b=b + a dir.




BİRLEŞME ÖZELLİĞİ




Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe


toplama işleminin birleşme özelliği denir.




3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13


aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir.




Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır.




ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN




Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir.




5 + 0 = 5


0 + 6 = 6




Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır.




DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA




A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}


s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.


s(A) - s(B) = s(C)


5 - 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.




B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.




Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.




ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ




Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.


Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.


Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0


Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3'tür.




DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA




Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal sayısına a ile b'nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )' dır.




ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ




KAPALILIK ÖZELLİĞİ




İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir.




DEĞİŞME ÖZELLİĞİ




Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir.




4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür.


aD, bD için; a x b = b x a 'dır.




BİRLEŞME ÖZELLİĞİ




Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.




4D, 5D, 2D için


4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır.




ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN




Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.




1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir.


aD için a x 1=1 x a=a 'dır.




YUTAN ELEMAN




Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir.




4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır.


aD için 0 x a=a x 0=0 'dır.




ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ




aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve


aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) - (a x c) 'dir.


Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir.




ÇARPMADA KOLAYLIKLAR




Bir sayıyı 10, 100, 1000, ... ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, ... sıfır yazılır.




14 x 10 = 140


16 x 100 = 1600


22 x 1000 = 22000


7 x 10000 = 70000


Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4'e bölünür.






25 x 36=(36 x 100)/4=900




Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür.






78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200




Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür.




89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445




Bir sayı 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır.


56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504




DOĞAL SAYILARDA BÖLME




aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir.






BÖLMENİN SAĞLAMASI




Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır.






Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir.




BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ




Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur.




4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir.




Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur.




5D, 15D için, 15/5 5/15




Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.




(24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12




Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.




2/1 1/2 2 0,5




Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir.




aD için a/1=a dır. 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101




Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.




0/a=0 'dır. 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0




0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir.




aD için a/a=1 'dir. 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1




Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.




5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız




Bir sayıyı 10, 100, 1000 ... ile bölmek;




10'a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40


100'e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2


1000'e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3

*