3. Dereceden Denklemler Cardano FormÜllerİ

3. DERECEDEN DENKLEMLER

CARDANO FORMÜLLERİ


Birinci ve ikinci dereceden denklemler katsayılar yardımıyla kolayca çözülebilir. Yalnız 3.dereceden denklemlerin çözümü için Gerolamo Cardano’nun 1545 yılında geliştirdiği bir yöntemden yararlanabiliriz. Cardano bu yöntemi bulurken Tartoglia ve Fior isimli matematikçilerin çalışmalarından da yararlanmıştır.

Çözüm yöntemi aşağıda belirtildiği gibidir.


3. Dereceden Denklemlerin Çözülmesi, Cordano Formülleri


Üçüncü dereceden

ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde bazı dönüşümler yaparak sonuca ulaşacağız.

Eğer bu denklemde x = y - dönüşümü yapılırsa

denklemi,

y3 + halini alır.

p = , q = olmak üzere y3 + py + q = 0 şeklinde yeni bir dönüşüm yapmış olduk. Şimdi de bu denklemi çözmemiz gerekecek. Bunun için de ilk olarak y = dönüşümü yapıyoruz. Yeni dönüşümümüzle beraber y3 + py + q = 0 denklemi düzenlenirse;

şeklini alır.

ve bilinmeyenleri içeren bu yeni denklemde de . = dönüşümünü yaparak yerine yazıyoruz. Üstteki denklemin yerini = -q, . = sistemi almış oldu.

Son olarak

= N dönüşümüyle

M + N = -q, M.N = M ve N bilinmeyenler olmak üzere z2 + qz = = 0 denklemini elde ettik. Bu denklemin kökleri de 2.dereceden denklem çözümünden;

, olur.

= M olduğundan

= 0

= 0 Buradan

 = 0  ve

 = 0 ,








, olmalı.

Benzer şekilde:

, , bulunur.

y = + olmak üzere toplayacağım ve değerleri

. = koşulunu sağlamalıdır.

görüldüğü gibi ve değerleri sağladı. Buda demektir köklerden biri y1 = + olacaktır.

, değerleri alınırsa iken

olur

ve

olur

Buna göre, y = + olduğundan

y1 =

y2 =

y2 = bulunur. Yani


y1 =

y2 =

y3 =


Burada M =

N = idi.

Burada  = 4p3 + 27q2 işaretine göre köklerin durumunu inceleyebiliriz.


i)  = 4p3 + 27q2 > 0 ise:

M ve N birer gerçel sayıdır, dolayısıyla

y1 = kökü bir gerçel sayı, diğer iki kök ise eşlenik kompleks iki sayıdır.


ii)  = 0 ise:

M ve N = olur. Dolayısıyla

y1 = (Gerçel sayı)

y2 = y3 = (Gerçel sayı)

Yani 3 kök de gerçel sayı olur.


iii)  = 4p3 + 27q2 < 0 ise:

M ve N eşlenik kompleks iki sayı olur.

Bu durumda Cardano formüllerinde bulduğumuz y1, y2, y3 köklerinde bir gerçel sayı, ise gerçel kısmı 0 olan bir kompleks sayı olacağından y1, y2 ve y3 kökleri birer gerçel sayıdır.




y3 + py + q = 0 denkleminin kökleri y1, y2 ve y3 bu şekilde bulunduktan sonra x = y - dönüşümü kullanılarak ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri bulunur.

*