Piramitler Koni Küre

* PİRAMİTLER




Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.




T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.


Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.


T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.


|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.


Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.



1.Kare Piramit




Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.


İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.


|PH| = h piramidin yüksekliğidir.


Yan yüz yüksekliği |PK| dır.


Tabanının bir kenarına a dersek




Buradan yan yüz yüksekliği


|PK|2 = h2 + ( )2 olur.




Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.



2. Eşkenar Üçgen Piramit


Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.




Taban Alanı olduğundan

3. Düzgün Dörtyüzlü


Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.


Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün


Yarı yüz yüksekliği ve Cisim yüksekliği olur Buradan





4. Düzgün Sekizyüzlü


Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.


Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur.


Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu


düşünürsek piramitlerin yüksekliği;


olur.




Piramitin hacmi olduğundan;






Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan




5. Düzgün Altıgen Piramit


Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.


Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.

KONİ


Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.


Taban alanı = olduğundan




bulunur. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.

KONİ


Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.


Burada;


Taban yarıçapı |OB| = r


Cisim yüksekliği |PO| = h olur.


|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.


POB dik üçgeninde,


h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır.


Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.




Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,


Yanal alan= pr2+prl


Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.


Tüm alan = šr2 + šrl




* Daire diliminin merkez açısına a dersek




oranı elde ederiz.




* Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.




* Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.




Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.


[O1B] // [O2D] olduğundan


benzerliği vardır. Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir. Alanları


oranı benzerlik oranının


karesi olduğundan, alanlar oranı olur. Hacimler oranı


ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek







KÜRE


Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.


O merkezli R yarıçaplı kürede;




Yüzey alanı . Küre Dilimi


[KL] çap


m(AOB) = a


şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi





2. Küre Kapağı


Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.


Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek


|OP|2 + r2 = R2 eşitliği vardır. h = R - |OP| Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan


Küre parçasının haçmi

*