Konbinasyon

Konbinasyon


Tanım: A, n elemanlı sonlu bir küme ve r ≤ n olmak üzere, A kümesinin r elemanlı her alt kümesine, bu kümenin r li kombinasyonu denir ve C (n, r) veya


biçiminde gösterilir.



ÖRNEKLER


1. Burcu Gizem ve Ecem’ den oluşan 3 kişilik bir gruptan;


a) Biri başkan, diğeri başkan yardımcısı olmak üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?


b) Bir yarışmaya gönderilmek üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?



Çözüm:




a) A= {Burcu, Gizem, Ecem} kümesinden; birincisi başkan, ikincisi başkan yardımcısı olmak üzere ikililer seçelim. Bu ikililer, A kümesinin ikili permütasyonlarıdır.




A kümesinin ikili permütasyonları


(sıralı ikililer)




(Burcu, Gizem) (Gizem,Ecem)


(Burcu, Ecem) (Ecem, Burcu)


(Gizem, Burcu) (Ecem, Gizem)




Bu sıralı ikililerin sayısı 6’dır. Bunu, P(3, 2) = 6 biçiminde yazarız. Burada ayrıca, (Burcu, Gizem) ve (Gizem, Burcu) ikililerin farklı permütasyonlar olduğu açıktır.


Permütasyonda sıra önemlidir.




b) A={Burcu,Gizem,Ecem}kümesinden,bir yarışmaya gönderilmek üzere seçilecek 2 kişilik kümeler oluşturalım.Bu kümeler, A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleridir.




A kümesinin ikili alt kümeleri


(kombinasyonlar)




{Burcu, Gizem}


{Burcu, Ecem}


{Gizem, Ecem}


A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin (kombinasyonlarının) sayısı 3 tür. Bunu C(3,2) = 3 biçiminde yazarız. Ayrıca, {Burcu, Gizem} ve {Gizem, Burcu}kümelerinin aynı olduğu açıktır.


Kombinasyonda sıra önemli değildir.






2. A= {a,b,c} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini ve 2 li permütasyonlarını yazalım.



Çözüm:


2 li alt kümeleri 2 li permütasyonları


(kombinasyonları) (sıralı ikililer)




{a,b} (a,b) (b,a)


{a,c} (a,c) (c,a)


{b,c} (b,c) (c,b)




Yukarıda gördüğünüz gibi, 3 elemanlı kümenin 2 li alt kümelerinin sayısı,


C(3,2)=3 ve 2 li permütasyonların sayısı p(3,2)=6 dır.




Bunu, 2 ! . C(3,2) = P(3,2) biçiminde ifade ederiz.








Teorem: r n olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı,


C(n,r)= = dir.




İSPAT: n elemanlı bir kümenin, r elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,r) dir. Bu alt kümelerin her birindeki elemanların tüm sıralanışlarının (permütasyonlarının) sayısı da r! olduğundan r! . C(n,r)= P(n,r) yazabiliriz. Buradan,




C(n,r)= = = bulunur.




ÖRNEKLER:


1. A={1,2,3,4,5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin (3 lü kombinasyonlarının) sayısını bulalım.




Çözüm: A kümesinin 5 elemanlı olduğundan, 5 in 3 lü kombinasyonunu bulacağız.


1. YOL: C(5,3) bulunur.


2. YOL: C(5,3) bulunur.






2. 10 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı kaç farklı biçimde oluşturulabilir.




Çözüm: 10 kişilik gruptan 5 kişi seçerken sıra önemli değildir. Örneğin, bu takımın {Ali, Can, Seçkin, Suat, Okan} veya {Can, Seçkin, Okan, Ali, Suat} olması farklı seçim olmaz. Bu nedenle seçimi kombinasyonla yaparız. O halde, oluşturulacak 5 kişilik grupların sayısı,


C(10,5) olur.




3. 2.C(n,2)=c(2n,1) ise n kaçtır?




Çözüm: 2.C(n,2)=C(2n,1)






2


n.(n-1)=2n n -3n=0 n=0 v n=3 bulunur. n=0 olmayacağından n=3 tür.




4. Herhangi 3 tanesi doğrusal olmayan 6 noktadan kaç doğru geçer.




Çözüm: 6 noktadan seçilecek olan herhangi iki noktanın sırası önemli değildir (Bu noktalardan herhangi ikisi A,B ise {A,B} ile {B,A} seçimleri aynı doğruyu gösterir.). O halde, oluşacak doğru sayısını, kombinasyonla buluruz. Bu durumda, 6 noktadan,




doğru geçer.




5. 3 erkek ve 2 bayandan oluşacak bir grup, 6 erkek ve 4 bayan arasından kaç türlü seçilebilir?




Çözüm: 6 erkek arasından 3 erkeği C(6,3); 4 bayan arsından 2 bayanı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçebiliriz.




Genel çarpma kuralına göre bu seçimi;




türlü yapabiliriz.




6. n kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısının olduğunu gösterelim.


Çözüm: n kenarlı bir çokgende n tane köşesi vardır. İki noktadan bir doğru geçtiğinden, köşegen sayısını bulmak için, n’in 2 li kombinasyonlarının sayısını bulmalıyız. Ancak, komşu olan iki köşeden köşegen geçemeyeceğinden(bunlar, çokgenin kenarlarıdır.), C(n,2) den, kenar sayısı olan n çıkarılır. O halde, n kenarlı çokgenin köşegen sayısı;


bulunur.






Kombinasyonla ilgili bazı özellikler:




1.


2.


3.


4.


Bu eşitliklerin ispatını, C(n,r) formülünden yararlanarak yapınız.








ÖRNEKLER:




1. C(5,0)+C(4,1)+C(3,3)-C(7,6) işlemini yapalım.




Çözüm: C(5,0)=1 , C(4,1)=4 , C(3,3)=1 ve (7,6)=7 oldugundan


C(5,0) + C(4,1) + C(3,3) – C(7,6) = 1 + 4 + 1 – 7 = -1 bulunur.




2. toplamını üstteki 4. özelliği kullanarak bulalım.




Çözüm: olur.








bulunur.




3. 5 farklı matematik ve 4 farklı Türkçe kitabından; 3 matematik ve 2 Türkçe kitabını, bir kitaplığın rafına kaç türlü yerleştirebiliriz?




Çözüm: 5 farklı matematik kitabı arasından; 3 matematik kitabı C(5,3) kadar farklı şekilde seçilebilir. 4 farklı Türkçe kitabından; 2 Türkçe kitabı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçilebilir. Seçilen bu kitaplar,


C(


5,3) . C(4,2) . 5! = 10 . 6 . 120 = 7200 farklı sıralanabilir.

*