Euclid Dışı Geometriler...

Yunanca bir sözcük olan geometri, anlam olarak yerin ölçülmesi demektir. Geometri çok eski çağlardan bu yana vardı. Ancak bu bilgiye geometri adı ilk kez eski Yunanlılarca verilmiş olup, ondan sonra aksiomlara dayalı bir bilgi haline gelerek, halen de kullanılmaktadır. Euclides’in M.Ö. 300 yılında yazdığı “Elemanlar, Grekçe Στοιχεῖα” adlı 13 ciltten oluşan kitap, geometrinin sistemli bir bilgi haline gelmesine öncülük etmiştir. Herkesin bildiği gibi, bizlere de eğitimimiz boyunca öğretilen geometri, Euclid’ in ortaya koyduğu bu düzlem geometridir. Bu geometride anlatılan postulatlar hep iki boyutlu bir düzlem üzerinde tanımlanır.



Euclide’in postülatları şunlardır:a) İki nokta bir doğruyu anlatır. b) Bir doğrudan bir doğru parçası elde edilebilir. c) Bir dâire bir merkez ile yarıçapı ile anlatılabilr. d) Bir dik açı bütünleyenine eşittir. e) Bir doğruya dışındaki bir noktadan ancak bir paralel doğru çizilebilir.




Düzlem geometride, geometri uzayı iki boyutlu bir düzlemdir demiştik. Euclid düzlem geometrisinde temel elemanlar noktalar ile doğrulardır. Teoremler, matematik aksiyomlardan yapılan çizimlerden sonuç elde edilmesi biçimindedir. Euclide geometrinin en iyi bilinen teoremi, Osmanlının Eşek Davası dediği Pisagor teoremidir.




Ne var ki, içinde yaşadığımız doğadaki hiç bir yüzey bir düzlem olmadığı gibi, çizgiler de Euclid’ in tanımını yaptığı doğru niteliğinde olmayıp eğriler biçimindedir. Doğadaki bu eğri düzlemler üzerine çizilecek açılar da Euclid’ in düzlemleri üzerine çizilenlerden farklı davranış içinde olacaklardır (yukardaki resme dikkat ediniz).




Ömer Hayyam ile Tûsî’nin Euclid’in paralel doğru teorisiyle ilgili beşinci postulatın incelenmesi yeni bir devrin başladığını gösterir. Ömer Hayyâm’ın Fî Şerhi mâ Eşkale min Müsaderat Kitabı Euclid (Euclid Elemanlarının Zorluğu Üzerine) adlı yapıtı bir anlamda Euclid dışı geometrilere açılan ilk kapıdır. Bu Müslüman geometri alimleri ile kitapları, Rönesanstan sonra Avrupa’da yetişenlere rehberlik ettiler. Batıda geometrinin gelişmesi, doğu ile aralarındaki bağın yeniden kurulması, ancak Rönesansla olanak kazandı. Euclid’in paraleller postulatının ilk eleştirmenleri, bu postulatın doğruluğundan değil, açık bir noktanın olmayışından şüphelendiler. Bu nedenle postulatı bir tarafa bırakarak, açıklığı olan başka bir postulatı ortaya koymaya çalıştılar. Aynı problemi 13. yüzyılda İranlı Matematikçi Nasireddin Tusi de yeniden ele aldı.




On sekizinci asırda paraleller postulatı üstüne Avrupa’da Papaz Sacheri, Legender, Lambert gibi matematikçiler ile 19. asırda Alman Matematikçi Gauss tarafından çeşitli çalışmalar yapıldı. Bu araştırmalardaki başarısızlık, bu postulatın “kabul edilebilir” özellikteki açık önermelerden faydalanarak ispat edilemeyeceği düşüncesini ortaya koydu. Gereten çok geçmeden bu düşünce Janos Bolyai (1832) de, Nikolai Ivanovch Lobachevsky (1855) de “paraleller postulatı” yerine “Lobacevski postulatı” nı (Bir doğruya bir doğru dışındaki her noktadan iki paralel çizilebileceğini kabul eden postulat) koyarak, yeni bir geometri kurulabileceğinin farkına vardılar. Böyece “Hiperbolik Geometri” denilen yeni bir geometrinin temelleri atılmış oldu. Karl Friedrich Gauss da bu alanda çalıştı, ancak çalışmalarını gizli tuttu. Sonrasında Eugenio Beltrami modeller sağladı, bu modelleri kullanarak eğer Euclid Geometrisi tutarlıysa hiperbolik geometrinin de tutarlı olduğunu kanıtladı. Daha sonra Georg Friedrich Bernhard Riemann paralelliğini kabul etmeyen “Eliptik Geometri”nin temellerini attı.




Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir aksiomla ayrılır. Öklit'in paralellik aksiomunun tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir. Ayrıca bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman iki tane dik açıdan küçüktür.




Hiperbolik geometride (Lobachevsky, Bolyai, Gauss geometrileri) geometrik resimlerin, traktrice ya da traktrix denen bir hiperbolün 360 derece dönmesinden elde edlen, borozana benzeyen bir yapının dış yüzüne çizildiği varsayılır. Böylece geometrik resimler içbükey bir düzleme çizilmiş olurlar. Burada geometrik yapıların, söz gelimi bir üçgenin kenarları içe dönük eğriler biçiminde görünürler. Buna bağlı olarak üçgenin iç açıları, Euclid üçgeninkinden daha dardır. Buna bağlı olarak hiperbolik geometrideki üçgenlerin iç açılarının toplamı 180 dereceden daha ufaktır.




Buna karşılık eliptik geometride (Riemann eometrisi) resimlerin, br elipsoidin ya da bir kürenin dış yüzüne çizildiği kabul edilir. Bu durumda çizilen üçgenin kenarları dışa dönük eğrilerden oluşur. Bu yüzden bu üçgenin iç açıları Euclid üçgeninkinden büyük olacağından, eliptik geometride bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden daha büyüktür.




Euclid Dışı Geometrilerin Önemi :




Euclid dışı geometrilerin gelişiminin fizik için çok önemli olduğu, yirminci yüzyılda kanıtlanmıştır. Işık hızının sınırının belirli olmasına karşın, hiperbolik geometrinin kullanılması bazı hız artışlarını gerekli kılmıştır. Einstein’ nin görecelik (relativity) kuramı uzayı genellikle düz olarak tanımlar (Euclidian görüş), Fakat uzay, maddenin bulunduğu (galaksiler, nebulalar) kıyı kesimlerinde eliptiktir (Euclid- dışı görüş). Demek ki evren bir elipsoidin dış çeperinde yerleşmiş olarak bulunmaktadır. Uzayın sürekli olarak genişliyor olması yüzünden [Hubble Sabiti (*)], maddenin bulunmadığı uzay bölgesi (elipsoidin iç kesimi) hiperbolik model kullanılarak tanımlanabilir. Eğimin nokta nokta değiştiği kıyı kesiminde Riemann geometrisi geçerlidir.




(*) Hubble Sabiti, Edwin Hubble'ın keşfiyle ortaya çıkan, onun adıyla anılan kozmolojik bir sabittir. Hubble Sabitinin değeri Megaparsek başına 3,26 milyon ışık yılıdır.


Galaksileri gözlemleyen Edwin Hubble, onların ışıklarının kırmızıya kayma oranlarından hızları ile dünyaya olan uzaklıklarını hesaplamıştır. Bu hızların uzaklıklarına oranının hep sabit olduğunu görmüştür. İşte bu sabit Hubble Sabitidir.


Bu oranın sabitliğinden yola çıkılarak evrenin homojen olup genişlediği, çünkü ancak homojense sabit bir genişleme oranı olduğu modeli ortaya atılmıştır. Bugün bu tez büyük ölçüde bilim adamlarınca kabul edilen evren modelidir.




Doç. Dr. Yalçın GÜRAN




Konuyla İlgili Metinler :




▪ Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005




▪ Beltrami, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255




▪ Greenberg, Marvin Jay Euclidean and Non-Euclidean geometries: Development and history New York: W. H. Freeman, 1993. ISBN 0-7167-2446-4




▪ Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.




▪ Stewart, Ian Flatterland. New York: Perseus Publishing, 2001. ISBN 0-7382-0675-X (softcover)

*