Bölünebilme

2 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için


x º 0 (mod2) olmalı


x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0


10 º 0(mod2) olduğuna göre "n∈Niçin 10nº 0 (mod2)


x º 0+0+0+ . . . +a0 º 0 (mod2) olmalı.




Demek ki a0 º 0(mod2) olmalı.




O halde son basamaktaki sayı çift olmalıdır.

3 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için


x º 0 (mod3) olmalı


x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0


10 º1 (mod3) olduğuna göre "n∈Niçin 10n º 1(mod3)


x º an.1+an-1.1+ . . . +a.1+a0 º 0 (mod3) olmalı




Demek ki an+an-1+an-2+ . . . +a1+a0 º 0 (mod3) olmalı




O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.



4 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için


x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a2.102+a1.101+a0 º0 (mod4) olmalı




101 º 2 (mod4)


102 º 0 (mod4)


103 º 0 (mod4)


104 º 0 (mod4)




O halde


x º an.0+an-1.0+ . . . +a2.0+a1.10+a0 º 0 (mod4)


a1.10+a0 º 0 (mod4) olmalı




O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.





5 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . .a0 sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için


x º 0 (mod5) olmalı


x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a1.101+a0


10 º 0 (mod5) olduğuna göre "n∈Niçin 10nº 0(mod5)


x º an.0+an-1.0+ . . . +a1.0+a0 º 0 (mod5) olmalı


a0 º (mod5)




O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır.







6 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için


x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod6) olmalı


6 = 2 . 3 olduğuna göre x º 0 (mod6) ise


x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır.




O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır.



7 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için


x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod7)




101 º 3 (mod7)


102 º 2 (mod7)


103 º 6 º -1 (mod7)


104 º-3 (mod7)


105 º-2 (mod7)


106 º 1 (mod7)




x = . . . +a6.(1) + a5.(-2)+a4.(-3) + a3.(-1) + a2.2+a1.3+a0 = 0 (mod7)




+ - +






O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er 3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır.



8 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için


x º 0(mod8) olmalı


x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod8) olmalı




101 º 2 (mod8)


102 º 4 (mod8)


103 º 0 (mod8) "n∈N+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8)


104 º 0 (mod8)




x = an.0+an-1.0+ . . . + a3.0+a2.102+a1.10+a0 º 0 (mod8) olmalı


a2.102+a1.10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmalı




O halde son 3 basamağındaki sayı 8 in katı olmalıdır.







9 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için


x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0 (mod9) olmalı.


10 º 1(mod9) "n∈Niçin 10nº 1(mod9)




x = an.1+an-1.1+an-2.1+ . . . +a1.1+a0 º 0 (mod9) olur


an+an-1+an-2+ . . . a1+a0 º 0 (mod9) olur.




O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır.

















11 İle Bölünebilme






x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için




x º 0 (mod11) olmalı


x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0




"n∈Nve n, çift için 10n º 1


"n∈Nve n, tek için 10n º-1




101 º -1 (mod11)


102 =100 º 1 (mod11)


103 º-1 (mod11)


104 º 1 (mod11)


105 º-1 (mod11)


106 º 1 (mod11)




x = an.(1)+an-1.(-1)+an-2.(1)+ . . . +a2.(1)+a1.(-1)+a0


an-an-1+an-2+ . . . +a2-a1+a0 º 0 (mod11)




O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır.





21 İle Bölünebilme






21 = 3 . 7


Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır.







BÖLÜNEBİLME KURALLARI



1. 2 İle Bölünebilme


Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.


Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme


Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.


Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme


Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.




... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.


l... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan


c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.



4. 5 İle Bölünebilme


Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.


Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.


5. 7 İle Bölünebilme


(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,


k Î Z olmak üzere,


(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k


olmalıdır.


Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.



6. 8 İle Bölünebilme


Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.


3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.


Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.



7. 9 İle Bölünebilme


Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.


Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme


Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.


9. 11 İle Bölünebilme


(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için


(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k


ve k Î Z olmalıdır.


® (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan


(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.


Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.


2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.


3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ




A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,


A nın C ile bölümünden kalan K1 ve


B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.


Buna göre,


A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.


A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.


D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.


AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.


Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM




Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.


144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.


6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ




Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.


a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,





A = am . bn . ck olsun.


A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.


A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.


A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.


A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.




A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.


A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı




A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.


A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.


A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:




A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

*