Kartezyen, Çarpım ve Bağıntı

KARTEZYEN ÇARPIM ve BAĞINTI




A. SIRALI n Lİ


n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.


(a, b) sıralı ikilisinde;


a : Birinci bileşen,


b : İkinci bileşendir.




a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.


(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.


*


B. KARTEZYEN ÇARPIM


A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.


A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.


A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B** dir.




A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.


*


C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ


** I)* s(A) = m ve s(B) = n ise


****** s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.


* II) A x (B x C) = (A x B) x C


*III) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)


*IV) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)


* V) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)


*VI) A x Æ = Æ x A = Æ


VII)


*


*


D. BAĞINTI


A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.


Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.


b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B** dir.


*


** s(A) = m ve s(B) = n ise,


*** A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.


*


** A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.


*


** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,


*** A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı


***


*


** b Ì A x B olmak üzere,


*** b = {(x, y) : (x, y) Î A x B** bağıntısının tersi


*** b-1 Ì B x A dır.


*** Buna göre, b bağıntısının tersi


*** b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b** dır.


*


E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ


b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.


*


1. Yansıma Özeliği


A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.


"x Î A için, (x, x) Î b ª b yansıyandır.


*


2. Simetri Özeliği


b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.


"(x, y) Î b için (y, x) Î b ª b simetriktir.


*


** b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.


** s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.


** s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n - n) dir.


*


3. Ters Simetri Özeliği


b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.


x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.


*




b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.


*


4. Geçişme Özeliği


b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.




olmalı


b bağıntısının geçişme özelliği vardır.


*


F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ


1. Denklik Bağıntısı


b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.


b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.


*


* *b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir.


*** x º y biçiminde gösterilir.


*


** b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.


*** biçiminde gösterilir.


*** Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,


*** = {y : y Î A ve (a, y) Î b** olur.


*


2. Sıralama Bağıntısı


A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.

*