Kartezyen Çarpım

KARTEZYEN ÇARPIM – BAĞINTI[/b]


A. SIRALI n Lİ


n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.


(a, b) sıralı ikilisinde;


a : Birinci bileşen,


b : İkinci bileşendir.


(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

B. KARTEZYEN ÇARPIM


A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.


A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.


A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.


¹ B x A dır.

C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ


I) s(A) = m ve s(B) = n ise


s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.

II) A x (B x C) = (A x B) x C

III) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)

IV) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)

V) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)

VI) A x Æ = Æ x A = Æ

VII)





D. BAĞINTI


A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.


Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.


b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.




* s(A) = m ve s(B) = n ise,


A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.




* A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.




* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,


A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı






* b Ì A x B olmak üzere,


b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi


b-1 Ì B x A dır.


Buna göre, b bağıntısının tersi


b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.



E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ


b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.



1. Yansıma Özeliği


A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.


"x Î A için, (x, x) Î b Ş b yansıyandır.



2. Simetri Özeliği


b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.


"(x, y) Î b için (y, x) Î b Ş b simetriktir.




* b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.


* s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.


* s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n - n) dir.



3. Ters Simetri Özeliği


b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.


x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.




b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.

4. Geçişme Özeliği


b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.




olmalı


b bağıntısının geçişme özelliği vardır.



F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ


1. Denklik Bağıntısı


b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.


b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.



* b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir.

x º y biçiminde gösterilir.



* b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.

biçiminde gösterilir.

Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,

= {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.



2. Sıralama Bağıntısı

A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.

*